trigonometri

Trigonometri

BAB 1

PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang

Trigonometri dapat menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri rumus sinus dan rumus cosinus dalam pemecahan masalah, dapat melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tekhnis yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, dapat merancang model berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus cosinus dan sinus,menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang di peroleh.

Dalam trigonometri adanya identitas dasar trigonometri, yaitu adanya identitas kebalikan yaitu

 cosec A = ,

cotan A=

 sec A=  

identitas perbandingan yaitu

tan A= ,

 cotan A= ,

dan identitas phythagoras yaitu

  , 

,

 1+  = .

Dalam menentukan identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan dua cara yaitu jika ruas kiri persamaan lebih kompleks, persamaan ruas kiri tersebut yang di selesaikan sehingga di peroleh bentuk yang sama dengan ruas kanan dan sebaliknya, kemudian cara yang kedua penyelesaian ruas kiri dan kanan persamaan dilakukan secara terpisah sehingga diperoleh suatu bentuk yang sama.

B.   Rumusan Masalah

1.     Bagaimana hubungan antara Cos A,Sin A, Tan A,dan Cotangen A ?

2.     Bagaimana cara membuktikan identitas rumus-rumus trigonometri ?

C.   Tujuan

Agar mahasiswa dapat memahami bagaimana hubungan rumus-rumus trigonometri dan mampu membuktikan identitas rumus-rumus tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Ada perbedaan antara identitas dengan persamaan perbedaan itu dapat dilihat pada contoh-contoh berikut.

identitas :2a +3a = 5a, berlaku untuk semua harga a.

persamaan  : , hanya berlaku untuk x= -1 dan x= 2

identitas dapat diartikan sebagai kesamaan. Untuk dapat dinyatakan sebagai kesamaan, perlu ada pembuktian. Dan pembuktian diperlukan rumus-rumus.  Rumus-rumus berikut adalah sekaligus identitas trigonometri.

Rumus-rumus yang menghubungkan cos A, sin A, tg A, cotg A.

Pada gambar, PQ tegak lurus pada OQ. Titik sudut A berimpit dengan titik pangkal 0.

Menurut dalil Pytagoras :

. +.  

     y               P(x,y)                                                      

 

0                         Q

Selanjutnya , cos A = x/r...  A

                  Sin A = y/r... si  A =

                   A+ Si   A = +

                       =   = 1

Jadi, yaitu rumus yang menghubungkan cosinus dan sinus.

Seterusnya  diperoleh bahwa:

      = y/r : x/r = tg A

       = x/r : y/r = x/y = cotg A

Jadi,  = tg A, dan   =  cotg A  yaitu rumus yang menghubungkan cosinus dan sinus, tangen dan cotangen

Contoh 1

Buktikanlah identitas berikut ini

a.     3

b.    

Bukti :

a.     3 (  A +  A)

                              =  3(1)

                              = 3, terbukti

b.      =

                                                =

                                                = 1, terbukti.

Contoh 2

Buktikanlah bahwa :

a.    

b.    

Jawab :

a.    

Pembilang ,  

Sehingga :  

                        = (

                        = (

=  A, terbukti.

b.    (1-  =

1- . Sehingga bentuk di atas menjadi,

(1-  =

                     =

 =  terbukti

Contoh 3

Buktikan bahwa :

a.     (1- )  =

b.     (1+ ) =1

Bukti :

a.     1-  =  dan cotg A =  =   sehingga

(1-  )  A =  

                          =  terbukti

b.   (1+ ) =  (1+  )

                        =

`                      = 1, terbukti.

SOAL dan PEMBAHASAN

1.     =  = 2  - 1

Jawab :  = ) –

                                = , terbukti

                                = )

                                =

                                =2 , terbukti

2.     +sin A cosA =tg A

Jawab :  +sin Acos =   + sin A cos A

                                = tg A.  + sin Acos A

                                = tg A.  + tg A. cosA.cos A

                                = tg A.  + tg A.

                                = tg A( )

                                = tg A(1)

                                = tg A, terbukti

3.    A(1+ ) = 1

Jawab :

A(1+ )  = A (1+ )

                       =  

                       = , terbukti

4.   

Jawab :

   =  

.  masing-masing penyebut dibagi dengan cos A cos B

.  

=  , terbukti

5.   

Jawab :

   = (sin A- cos A)( + sinA cosA)

                       = (sin A-cos A)(1+sinAcosA), terbukti

6.   

Jawab :   =  -

                              =

                              = 1-(

                              = - , terbukti

                               

7.    Tg A(1-

         Jawab : Tg A(1-

                    Tg A(1- ) + (  = 0

                     (Tg A – ) +( )=0

           Tg A-  +   -tg A =0

           0=0, terbukti

8.     =1- sin A cos A

Jawab :   = 

=

=1-sinA cosA, terbukti

          

BAB III

PENUTUP

A.   Kesimpulan

Identitas trigonomeri dapat diartikan sebagai kesamaan. Untuk dapat dinyatakan sebagai kesamaan, perlu ada pembuktian. Dan pembuktian diperlukan rumus-rumus.  Rumus-rumus berikut adalah sekaligus identitas trigonometri.

     Rumus identitas trigonometri dasar yang sering digunakan  sebagai berikut :

1.    

2.      = tg A

3.     = cotg A

4.     Tg A =

     Untuk memahami identitas trigonometri dengan penyederhanaan persamaan dengan cara memfaktorkan,menggabungkan pecahan, memisahkan pecahan,menciptakan suatu faktoryang sama pada pembilang dan penyebut suatu pecahan.

B.   Saran

Untuk lebih memahami semua rumus-rumus identitas trigonometri, disarankan para pembaca mencari referensi lain yang berkaitan dengan materi pada makalah ini.

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

Diktat trigonometri Universitas Cokroaminoto Palopo

Wirodikromo, Sartono,Matematika SMA 2 IPA,Penerbit Erlangga,Jakarta,2006.

Kanginan, Marten, Matematika SMP X, Penerbit Grafindo Media Pratama.