Tugas Matematika Diskrit

LOGIKA MATEMATIKA 01. MD-86-03 Pernyataan majemuk dalam bentuk “p dan q” disebut … A. disjungsi B. negasi C. konjungsi D. relasi E. implikasi 02. MD-86-21 Dari suatu implikasi (pernyataan bersyarat) “p  q” , maka pernyataan-pernyataan berikut benar kecuali … A. q  p disebut pernyataan konversi dari pernyata-an p  q B. ~p  q disebut pernyataan inversi dari pernyataan p  q C. ~q  ~q disebut pernyataan kontra positif dari pernyataan p  q D. ~q  p disebut pernyataan kontra dari pernyataan p  q E. A , B , C benar 03. MD-92-16 Jika pernyataan p bernilai salah dan pernyataan q ber- nilai benar, maka pernyataan berikut yang bernilai SALAH adalah … A. p  q B. p  q C. ~p  ~q D. ~p  q E. ~p  ~q 04. MD-86-05 Jika hipotesa p benar dan konklusi q salah maka … mempunyai nilai kebenaran salah. Titik-titik di atas dengan simbol A. q  p B. p  q C. p  q D. p  q E. ~ (p  q) 05. MD-94-29 Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah, ma ka pernyataan di bawah ini yang bernilai salah adalah … (1) q  ~p (2) ~p  ~q (3) ~q  p (4) ~p  ~q 06. MD-93-29 Jika pernyataan p bernilai salah dan q bernilai benar, maka pernyataan di bawah ini yang bernilai benar adalah … (1) p  ~q (2) p  q (3) p  q (4) p  q 07. MD-88-02 Diberikan 4 pernyataan p, q, r, dan s. Jika tiga pernyataan berikut benar, p  q q  r r  s dan s pernyataan yang salah, maka diantara pernyataan berikut yang salah adalah … A. p B. q C. r D. p  r E. p  r 08. MD-87-38 Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai salah, maka pernyataan di bawah ini yang bernilai benar … (1) ~ p  q (2) ~ p  ~ q (3) q  p (4) ~ q  p 09. MD-01-01 Nilai x yang menyebabkan pernyataan “Jika x2 + x = 6 maka x2 + 3x < 9” bernilai salah adalah ... A. –3 B. –2 C. 1 D. 2 E. 6 10. MD-84-28 Jika p bernilai salah, q bernilai benar, sedangkan ~p dan ~q berturut-turut ingkaran dari p dan q, maka diantara pernyataan berikut yang benar adalah : … A. ~p  ~q benilai benar B. ~q  ~p benilai benar C. q  p benilai benar D. p  q benilai salah E. ~p  q benilai salah UAN-SMA-04-39 Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah … A. Semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum B. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum C. Ada makhluk hidup yang tidak perlu makan minum D. Semua makhluk hidup perlu makan dan minum E. Semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum UAN-SMA-04-40 Diberikan pernyataan-pernyataan sebagai berikut: 1. Jika penguasaan matematika rendah, maka sulit untuk menguasai IPA. 2. IPA tidak sulit dikuasai atau IPTEK tidak berkembang 3. Jika IPTEK tidak berkembang, maka negara akan semakin tertinggal Dari ketiga pernyataan diatas, dapat disimpulkan … A. Jika penguasaan matematika rendah, maka negara akan semakin tertinggal B. Jika penguasaan matematika rendah, maka IPTEK berkembang C. IPTEK dan IPA berkembang D. IPTEK dan IPA tidak berkembang E. Sulit untuk memajukan negara 11. MA-85-33 Jika ~p menyatakan ingkaran p dan ~q menyatakan ingkaran q , maka kalimat p  q senilai dengan … (1) q  p (2) ~q  ~p (3) ~p  ~q (4) ~p  q 12. MD-96-02 Ingkaran dari (p  q)  r adalah … A. ~p  ~ q  r B. (~p  q)  r C. p  q  ~r D. ~ p  ~q  r E. (~p  ~q)  r 13. MD-95-06 Pernyataan (~p  q)  (p  ~q) ekivalen dengan per-nyataan … A. p → q B. p →  q C. p → q D. p →  q E. p  q 14. MD-90-01 Nilai kebenaran dari p  ~q ekuivalen (setara) dengan nilai kebenaran dari … A. p  q B. ~p  ~q C. q  ~p D. p ~ q E. ~ (p  q) 15. MD-89-25 ~ p  q mempunyai nilai kebenaran sama dengan ... (1) p  q (2) p  q (3) ~ q  p (4) ~ q  ~ p 16. MD-81-49 Implikasi p → ~ q senilai dengan (1) ~ q → p (2) ~ p → q (3) ~ (q → p) (4) q → ~ p 17. EBT-SMA-01-39 Ditentukan pernyataan (p ~q)  p. Konvers dari pernyataan tersebut adalah … A. p  (~p  q) B. p  (p  ~q) C. p  (p  ~q) D. p  (p  ~q) E. p  (~p  ~q) 18. EBT-SMA-93-13 Invers dari pernyataan (p  ~q)  p adalah … A. ~ p  (p  ~q) B. ~p  (p  q) C. (~p  q)~p D. (p  ~q)~p E. (~p  q)p 19. EBT-SMA-96-09 Kesimpulan dari tiga premis: (1) p  q (2) q  r (3)  r adalah … A. p B. q C. r D. p E. r 20. MA-84-31 Pasangan pernyataan p dan q berikut yang memenuhi p  q , ialah … (1) p : x ganjil q : 2x genap (2) p : x positif q ; 2x positif (3) p : x ganjil q : 2x + 1 ganjil (4) p : x2 – x < 2 q : –1 < x < 2 21. MD-83-31 Manakah dari pernyataan yang berikut ini mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan nilai kebenaran pernyataan “7 adalah bilangan prima dan 5 adalah bilangan ganjil” ? (1) 8 adalah bilangan genap dan 8 = 23 (2) 17 adalah bilangan genap atau 17 adalah bilangan prima (3) jika x = 2 maka x2 = 4 (4) jika x < 3 maka x2 < 9 22. EBT-SMA-03-38 Penarikan kesimpulan dari: I p  q II. p  q III. p ~q ~p q ~r q  r  q ~r !p  p  r Yang sah adalah … A. hanya I B. hanya I dan II C. hanya I dan III D. hanya II dan III E. hanya III 23. EBT-SMA-01-40 1. ~p  q 2. p  q 3. p  r ~p p q  r  q  ~q  p q yang sah adalah … A. 1, 2 dan 4 B. 1 dan 2 C. 1 dan 3 D. 2 saja E. 3 saja 24. EBT-SMA-90-15 Cara mengambil kesimpulan : p  q ( B) p ( B ) q ( B ) disebut A. modus tolens B. modus ponens C. silogisme D. implikasi E. bi-implikasi 25. MD-86-01 Pernyataan berikut benar , kecuali … A. Pernyataan ialah suatu kalimat yang mempunyai nilai benar saja atau salah saja B. Kalimat ingkar ialah suatu kalimat yang menging- kari atau meniadakan suatu pernyataan kalimat lain C. Suatu pernyataan p, maka ~p adalah notasi kalimat ingkar D. Jika pernyataan p benar, maka ~p benar E. Jika pernyataan p salah, maka ~p benar 26. MD-86-04 Jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang bersama-an, maka p  q mempunyai nilai kebenaran … A. salah B. benar C. benar atau salah D. ragu E. semua salah 27. MD-86-22 Konversi dari “ Jika sungai itu dalam maka di sungai itu banyak ikan” adalah … A. Jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu da-lam B. Jika di sungai itu banyak ikan maka sungai itu tidak dalam C. Jika tidak benar sungai itu dalam maka tidak benar di sungai itu banyak ikan D. Jika tidak benar di sungai itu banyak ikan maka ti-dak benar sungai itu dalam E. Jika di sungai itu banyak tidak ikan maka sungai itu dalam 28. MD-86-23 Pernyataan “Jika Rina lulus ujian, maka Rina akan kawin” senilai dengan … A. Jika Rina lulus ujian maka Rina tidak kawin B. Jika Rina lulus ujian, maka Rina akan kawin C. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina tidak kawin D. Jika Rina kawin, maka Rina lulus ujian E. Jika Rina tidak kawin, maka Rina tidak lulus ujian 29. MD-86-26 Tinjaulah pernyataan yang berikut “Jika ayah pergi aku harus tinggal di rumah”. Ini berarti … A. Jika ayah ada di rumah, aku harus pergi B. Jika aku pergi, tak mungkin ayah pergi C. Jika aku ada di rumah, ayah harus pergi D. Jika aku pergi, ayah mungkin pergi E. a, b, c dan d tidak ada yang benar 30. MD-81-50 Pernyataan “Apabila hari tidak hujan, maka si A pergi ke sekolah”, akan bernilai benar jika ternyata ... (1) Si A pergi ke sekolah dan hari tidak hujan. (2) Hari hujan, dan si A pergi ke sekolah. (3) Hari hujan, dan si A tidak pergi ke sekolah. (4) Hari tidak hujan, dan si A tidak pergi ke sekolah. 31. MD-85-28 Pernyataan di bawah ini yang bernilai benar adalah … (1) Bila A musuh B dan B musuh C, maka A musuh C. (2) Bila a sejajar b dan b sejajar c, maka a sejajar c. (3) Bila A menyintai B dan B menyintai C, maka A menyintai C. (4) Bila A sekampung B dan B sekampung C, maka A sekampung C. 32. MD-86-02 Negasi dari : “Indonesia beribukota Jakarta” adalah … A. Jakarta beribukota Indonesia B. Jakarta bukan beribukotakan Jakarta C. Benar bahwa Indonesia beribukota Jakarta D. Jakarta bukanlah satu-satunya ibukota E. Jakarta beribukota Jakarta saja 33. EBT-SMA-02-39 Ingkaran dari √14 < 4 jika dan hanya jika sin 45o < sin 60o adalah … A. 14 ≤ 4 jika dan hanya jika sin 45o < sin 60o B. 14 < 4 jika dan hanya jika sin 45o ≥ sin 60o C. 14 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45o > sin 60o D. 14 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45o ≥ sin 60o E. 14 ≥ 4 jika dan hanya jika sin 45o > sin 60o 34. EBT-SMA-90-14 Ingkaran pernyataan : “ Beberapa peserta EBTANAS, membawa kalkulator “ adalah … A. Beberapa peserta EBTANAS, tidak membawa kalkulator B. Bukan peserta EBTANAS, membawa kalkulator C. Semua peserta EBTANAS, membawa kalkulator D. Semua peserta EBTANAS, tidak membawa kalkulator E. Tiada peserta EBTANAS, tidak membawa kalkulator 36. MD-91-02 Ingkaran pernyataan : “Apabila guru tidak hadir maka semua murid bersukaria “ adalah … A. Guru hadir dan semua murid tidak bersukaria B. Guru hadir dan ada beberapa murid bersukaria C. Guru hadir dan semua murid bersukaria D. Guru tidak hadir dan ada beberapa murid tidak bersukaria E. Guru tidak hadir dan semua murid tidak bersukaria 35. EBT-SMA-89-18 Ingkaran dari pernyataan : Semua peserta EBTANAS berdoa sebelum mengerjakan soal  adalah … A. Semua peserta EBTANAS tidak berdoa sebelum mengerjakan soal B. Beberapa peserta EBTANAS berdoa sebelum mengerjakan soal C. Beberapa peserta EBTANAS tidak berdoa sebe-lum mengerjakan soal D. Semua peserta EBTANAS berdoa sesudah mengerjakan soal E. Beberapa peserta EBTANAS berdoa sesudah mengerjakan soal 37. MD-86-3 Kalimat ingkar dari kalimat :‘Semua peserta ujian PP 1 ingin masuk perguruan tinggi’ adalah … A. Tiada peserta ujian PP 1 ingin masuk perguruan tinggi B. Semua peserta ujian PP 1 tidak ingin masuk pergu-ruan tinggi C. Ada peserta ujian PP 1 ingin masuk perguruan tinggi D. Ada peserta ujian PP 1 tidak ingin masuk perguru-an tinggi E. Tiada peserta ujian PP 1 yang tidak ingin masuk perguruan tinggi 38. MD-86-32 Ingkaran pernyataan “SEMUA MURID MENGANGGAP MATEMATIKA SUKAR” ialah … A. Beberapa murid menganggap matematika sukar B. Semua murid menganggap matematika mudah C. Ada murid yang menganggap matematika tidak sukar D. Tidak seorangpun murid menganggap matematika sukar E. Ada murid tidak menganggap matematika mudah 40. MA-84-25 Kalimat ingkar dari kalimat ” Semua orang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan ”, adalah … A. Semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan B. Tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan C. Ada orang yang berdiri ketika tamu agung me-masuki ruangan D. Ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan E. Tidak ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan 39. MA-86-16 Ingkaran dari pernyataan : ” Kuadrat setiap bilangan real selalu tak negatif ” ialah pernyataan … A. Ada bilangan real yang kuadratnya positif B. Ada bilangan real yang kuadratnya negatif C. Ada bilangan real yang kuadratnya tak negatif D. Ada bilangan real yang kuadratnya tak positif E. Ada bilangan real yang kuadratnya nol 41. MD-86-34 Jika 2  2 = 5, maka Jakarta adalah ibukota RI SEBAB Medan ibukota Sumatera Utara 42. MD-82-35 Dari pernyataan “ Jika tidak ada api maka tidak ada asap“ dapat diturunkan pernyataan … (1) Jika ada api maka ada asap (2) Jika tidak ada asap maka tidak ada api (3) Ada asap jika dan hanya jika ada api (4) Jika ada asap maka ada api 43. EBT-SMA-94-14 Pernyataan majemuk : Jika hari hujan maka sungai meluap, ekivalen dengan …… A. Hari hujan dan sungai meluap B. Hari tidak hujan dan sungai tidak meluap C. Jika sungai meluap maka hari hujan D. Jika sungai tidak meluap maka hari tidak hujan E. Jika hari tidak hujan maka sungai tidak meluap 44. EBT-SMA-92-14 Pernyataan : Jika anda rajin belajar, anda lulus Ebtanas ekivalen dengan … A. Jika lulus Ebtanas, maka anda rajin belajar. B. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda tidak lulus Ebtanas. C. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka anda tidak rajin belajar. D. Jika anda tidak rajin belajar, maka anda lulus Ebtanas. E. Jika anda tidak lulus Ebtanas maka anda rajin belajar. 45. EBT-SMA-91-16 Pernyataan :  Jika laut pasang maka tiang dermaga tenggelam  ekivalen dengan … A. Jika laut pasang maka dermaga tenggelam B. Jika laut pasang maka tiang dermaga tidak teng-gelam C. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga teng-gelam D. Jika laut tidak pasang maka tiang dermaga tidak tenggelam E. Jika tiang dermaga tidak tenggelam maka laut tidak pasang 46. MD-82-22 Pernyataan “ Jika Rina lulus ujian, maka Rina akan kawin” senilai dengan … A. Jika Rina lulus ujian, maka Rina tidak kawin B. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina akan kawin C. Jika Rina tidak lulus ujian, maka Rina tidak kawin D. Jika Rina kawin, maka Rina lulus ujian E. Jika Rina tidak kawin, maka Rina tidak lulus ujian 47. EBT-SMA-95-10 Kontra posisi dari pernyataan Jika semua siswa me-nyukai matematika maka guru senang mengajar adalah … A. Jika guru senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika B. Jika tidak semua siswa menyukai matematika maka guru tidak sengang mengajar C. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang suka matematika D. Jika semua siswa menyukai matematika maka guru tidak senang mengajar E. Jika guru tidak senang mengajar maka ada siswa yang tidak suka matematika 48. EBT-SMA-88-26 Kontra posisi dari implikasi : ”Jika Ali lulus ujian maka Ali membeli motor” adalah … A. Jika Ali membeli motor maka Ali lulus ujian B. Jika Ali lulus ujian, maka Ali tidak membeli motor C. Jika Ali tidak lulus ujian, maka Ali membeli motor D. Jika Ali tidak lulus ujian, maka Ali tidak membeli motor E. Jika Ali tidak membeli motor, maka Ali tidak lulus ujian 49. EBT-SMA-86-34 Kontra positif dari pernyataan “ Jika Alex pandai, maka Alex lulus EBTA “ adalah … A. Jika Alex lulus EBTA, maka Alex pandai B. Jika Alex tidak pandai, maka Alex tidak lulus EBTA C. Jika Alex tidak lulus EBTA, maka Alex tidak pandai D. Jika Alex pandai, maka Alex tidak lulus EBTA E. Jika Alex tidak pandai, maka Alex tidak lulus EBTA

TIPE-X STRESS

TIPE-X E.P Nggak perlu cerita yang nggak berguna Cuma bikin pusing kepala Nggak perlu ngeritik kalau nggak ngerti Nanti disangka gila Percuma, percuma, nggak usah bicara Kalau nggak ada buktinya Lebih baik minum susu, cuci kaki, terus tidur Jangan bisanya cuma mencela Kasihan cuma jadi benalu, buat nutupin malu Makanya jujur, jangan sok gengsi Malah nyiksa diri sendiri Nggak usah, nggak usah pura-pura Padahal mukanya dua Ingat diri sudah terlalu banyak dosa Nanti nggak masuk sorga {2x} Kasihan cuma jadi benalu, buat nutupin malu Makanya jujur, jangan sok gengsi Malah nyiksa diri sendiri {2x}Na na na... na na na... Na na na na na Na na na na... na na na... Na na na na na na

trigonometri

Trigonometri

BAB 1

PENDAHULUAN

A.   Latar Belakang

Trigonometri dapat menggunakan sifat dan aturan tentang fungsi trigonometri rumus sinus dan rumus cosinus dalam pemecahan masalah, dapat melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan tekhnis yang berkaitan dengan fungsi trigonometri, dapat merancang model berkaitan dengan fungsi trigonometri, rumus cosinus dan sinus,menyelesaikan modelnya dan menafsirkan hasil yang di peroleh.

Dalam trigonometri adanya identitas dasar trigonometri, yaitu adanya identitas kebalikan yaitu

 cosec A = ,

cotan A=

 sec A=  

identitas perbandingan yaitu

tan A= ,

 cotan A= ,

dan identitas phythagoras yaitu

  , 

,

 1+  = .

Dalam menentukan identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan dua cara yaitu jika ruas kiri persamaan lebih kompleks, persamaan ruas kiri tersebut yang di selesaikan sehingga di peroleh bentuk yang sama dengan ruas kanan dan sebaliknya, kemudian cara yang kedua penyelesaian ruas kiri dan kanan persamaan dilakukan secara terpisah sehingga diperoleh suatu bentuk yang sama.

B.   Rumusan Masalah

1.     Bagaimana hubungan antara Cos A,Sin A, Tan A,dan Cotangen A ?

2.     Bagaimana cara membuktikan identitas rumus-rumus trigonometri ?

C.   Tujuan

Agar mahasiswa dapat memahami bagaimana hubungan rumus-rumus trigonometri dan mampu membuktikan identitas rumus-rumus tersebut.

BAB II

PEMBAHASAN

IDENTITAS TRIGONOMETRI

Ada perbedaan antara identitas dengan persamaan perbedaan itu dapat dilihat pada contoh-contoh berikut.

identitas :2a +3a = 5a, berlaku untuk semua harga a.

persamaan  : , hanya berlaku untuk x= -1 dan x= 2

identitas dapat diartikan sebagai kesamaan. Untuk dapat dinyatakan sebagai kesamaan, perlu ada pembuktian. Dan pembuktian diperlukan rumus-rumus.  Rumus-rumus berikut adalah sekaligus identitas trigonometri.

Rumus-rumus yang menghubungkan cos A, sin A, tg A, cotg A.

Pada gambar, PQ tegak lurus pada OQ. Titik sudut A berimpit dengan titik pangkal 0.

Menurut dalil Pytagoras :

. +.  

     y               P(x,y)                                                      

 

0                         Q

Selanjutnya , cos A = x/r...  A

                  Sin A = y/r... si  A =

                   A+ Si   A = +

                       =   = 1

Jadi, yaitu rumus yang menghubungkan cosinus dan sinus.

Seterusnya  diperoleh bahwa:

      = y/r : x/r = tg A

       = x/r : y/r = x/y = cotg A

Jadi,  = tg A, dan   =  cotg A  yaitu rumus yang menghubungkan cosinus dan sinus, tangen dan cotangen

Contoh 1

Buktikanlah identitas berikut ini

a.     3

b.    

Bukti :

a.     3 (  A +  A)

                              =  3(1)

                              = 3, terbukti

b.      =

                                                =

                                                = 1, terbukti.

Contoh 2

Buktikanlah bahwa :

a.    

b.    

Jawab :

a.    

Pembilang ,  

Sehingga :  

                        = (

                        = (

=  A, terbukti.

b.    (1-  =

1- . Sehingga bentuk di atas menjadi,

(1-  =

                     =

 =  terbukti

Contoh 3

Buktikan bahwa :

a.     (1- )  =

b.     (1+ ) =1

Bukti :

a.     1-  =  dan cotg A =  =   sehingga

(1-  )  A =  

                          =  terbukti

b.   (1+ ) =  (1+  )

                        =

`                      = 1, terbukti.

SOAL dan PEMBAHASAN

1.     =  = 2  - 1

Jawab :  = ) –

                                = , terbukti

                                = )

                                =

                                =2 , terbukti

2.     +sin A cosA =tg A

Jawab :  +sin Acos =   + sin A cos A

                                = tg A.  + sin Acos A

                                = tg A.  + tg A. cosA.cos A

                                = tg A.  + tg A.

                                = tg A( )

                                = tg A(1)

                                = tg A, terbukti

3.    A(1+ ) = 1

Jawab :

A(1+ )  = A (1+ )

                       =  

                       = , terbukti

4.   

Jawab :

   =  

.  masing-masing penyebut dibagi dengan cos A cos B

.  

=  , terbukti

5.   

Jawab :

   = (sin A- cos A)( + sinA cosA)

                       = (sin A-cos A)(1+sinAcosA), terbukti

6.   

Jawab :   =  -

                              =

                              = 1-(

                              = - , terbukti

                               

7.    Tg A(1-

         Jawab : Tg A(1-

                    Tg A(1- ) + (  = 0

                     (Tg A – ) +( )=0

           Tg A-  +   -tg A =0

           0=0, terbukti

8.     =1- sin A cos A

Jawab :   = 

=

=1-sinA cosA, terbukti

          

BAB III

PENUTUP

A.   Kesimpulan

Identitas trigonomeri dapat diartikan sebagai kesamaan. Untuk dapat dinyatakan sebagai kesamaan, perlu ada pembuktian. Dan pembuktian diperlukan rumus-rumus.  Rumus-rumus berikut adalah sekaligus identitas trigonometri.

     Rumus identitas trigonometri dasar yang sering digunakan  sebagai berikut :

1.    

2.      = tg A

3.     = cotg A

4.     Tg A =

     Untuk memahami identitas trigonometri dengan penyederhanaan persamaan dengan cara memfaktorkan,menggabungkan pecahan, memisahkan pecahan,menciptakan suatu faktoryang sama pada pembilang dan penyebut suatu pecahan.

B.   Saran

Untuk lebih memahami semua rumus-rumus identitas trigonometri, disarankan para pembaca mencari referensi lain yang berkaitan dengan materi pada makalah ini.

BAB IV

DAFTAR PUSTAKA

Diktat trigonometri Universitas Cokroaminoto Palopo

Wirodikromo, Sartono,Matematika SMA 2 IPA,Penerbit Erlangga,Jakarta,2006.

Kanginan, Marten, Matematika SMP X, Penerbit Grafindo Media Pratama.