MATEMATIKA SEKOLAH

matematika sekolah
BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar belakang

Sejak tahun 1750, mata pelajaran matematika aljabar, planimetri, trigonometri, stereometri dan ilmu ukur analitik sudah merupakan suatu pelajaran dalam kurikulum Sekolah Lanjutan. Tentulah di Indonesia sebagai jajahan Belanda setelah Sekolah Lanjutan didirikan pemerintah kolonial maka mata pelajaran tersebut diajarkan disekolah.

Gerakan pembaharuan matematika geometri , yaitu ;

1.      Program Erlanger untuk geometri

Secara khusus pelajaran geometri, pelajaran planimetri dan stereometri diajarkan berdasarkan geometri Euclides. Felix Klein(1849-1926), pada tahun 1868 mengemukakan “ sudah perlu memperkenalkan metoda-metoda yang lebih baru dari pelajaran geometri disamping metoda Euclides”. Pada tahun 1872, sehingga dalam pidatonya yang bejudul “ Program Erlanger” mengajukan usul penyusunan geometri. Isi pidatonya antara lain : penyelidikan sifat-sifat bangun-bangun geometri, yang sifatnya tetap bila mengalamisuatu grup transformasi. Untuk geometri bidang datar transformasi itu adalah rotasi, dan translasi.

2.      Geometri Analitik

Di dalam geometri analitik inti pemikirannya adalah menghasilkan ruang ilmu ukur dan ruang angka. Penggambaran secara grafis dari fungsi-fungsi itu perubah, menghasilkan tempat kedudukan (himpunan titik ) yang menentukan kurva-kurva. Pemecahan sifat-sifatnya merupakan pemecahan secara numerik. Gambar-gambar geometri dari kurva itu menghasilkan pengertian seperti hasil bagi diferensial, garis singgung, luas dan sebagainya.

Selanjutnya, akan dibahas pada BAB II tentang pembaharuan matematika diberbagai negara dan usahan-usahanya di sekolah.

B.     Rumusan masalah

Rumusan masalah makalah ini, yakni :

1.      Apa  dasar matematika ?

2.      Usaha-usaha pembaharuan pengajaran matematika di berbagai negara.

C.    Tujuan

Tujuan makalah ini adalah sebagai berikut ;

1.      Untuk mengetahui dasar matematika

2.      Untuk mengetahui pembaharuan matematika sekolah diberbagai negara.

BAB II

PEMBAHASAN

PEMBAHARUAN MATEMATIKA SEKOLAH

A.    DASAR MATEMATIKA

Felix Klein menyusun geometrinya menggunakan logika sebagai inti pemikiranya. Demikian pula Hilbert dalam Grundlagen der geometrie menekankan aspek logika dalam geometri. Dia menyusun geometri dengan 20 aksioma. Relasi-relasi bangun diatur oleh aksioma-aksioma.

Ahli-ahli logika seperti Boole, de Morgan, Schroder Frege dan Russel sudah berusaha menyusun logika itu secara sistematik. Salah satu usaha membuat sistematik dsilakukan oleh Cantor melalui teori himpunan. Teori himpunan mendorong perkembangan dengan timbulnya pandangan bahwa matematika tidak dikembalikan kepada bilangan, tetapi dikembalikan kepada himpunan. Teori himpunan mampu menjadi basis dari logika matematika. Dengan demikian dapatlah kita pahami bahwa yang menjadi basis dalam gerakan pembaharuan matematika itu adalah teori himpunan dan logika matemaika.

B.     USAHA-USAHA PEMBAHARUAN PENGAJARAN MATEMATIKA DI BERBAGAI NEGARA

1.      Matematika Sekolah Menengah

Isi dari matematika yang diajarkan di sekolah menengah sudah tersusun rapi sejak abad ke XIX. Akan tetapi, matematika itu tumbuh dan berkembang terus. Maka timbullah jurang antara matematika di sekolah dengan matematika (ilmu pasti ) di perguruan tinggi.demikian pula fungsi-fungsi kemasyarakatan menghendaki ilmu pasti. Maka timbullah pemikiran-pemikiran dan dorongan memperbaharui dan memasukan komponen-komponen matematika baru itu kedalam pengajaran matematika sekolah.Berikut ini mari kita tinjau beberapa gerakan-gerakan pembaruan itu.

2.      Hasil Kongres Matematika Southampton ( Inggris )

Pada tahun 1961 diadakan konfrensi matematika dengan salah satu judul yang diberikan oleh Bryan Thevaites sebagai ketua yakni “ On Teaching Mathematics “. Semangat matematika modern mempengaruhi konfrensi itu. Hasil-hasil fundamental yang dianjurkan diajarkan di sekolah menengah ialah :

a.       Memperkenalkan dan menggunakan suatu bahasa matematika yang tepat.

b.      Simbol-simbol dan persamaan

c.       Himpunan, relasi dan fungsi

d.      Simetri, persamaan, dan koenruensi

e.       Bukti-bukti induktif dan deduktif

f.       Invers/konvers dari suatu persyaratan

g.      Hubungan ekuivalensi dan hubungan urutan

h.      Pentingnya pengertian jika….maka dan jika hanya jika.

i.        Arti definisi dan postulat

j.        Inti pikiran tentang sistem aksioma

k.      Rumus-rumus/persamaan sebagai model matematika

l.        Analisa dimensi yang sederhana

3.      Proyect Madison di Amerika

Pada tahun 1962, proyek ini mempersiapkan bahan pelajaran untuk sekolah-sekolah. Bahan pelajaran itu mencakup program aljabar elementer dan geometri. Bahan pelajaran yang disusun untuk diajarkan mulai dari umur 7 tahun. Isinya mengenai :

1)      Ilmu hitung dari bilangan-bilangan

2)      Perubah-perubah, kalimat terbuka.

3)      Klasifikasi dari pernyataan yang benar dan salah

4)      Fungsi termasuk fungsi-fungsi yang diperoleh secara empiris

5)      Garis bilangan dan koordinat Cartesian

6)      Grafik fungsi termasuk fungsi linear dan irisan kerucut

7)      Implikasi dan kontradiksi

8)      Identitas

9)      Seleksi seperangkat aksioma pada aljabar atau ilmu hitung atau geometri

10)  Matriks

11)  Pemakaian matriks untuk meluaskan pengertian bilanganrasional dan kompleks

12)  Vektor, gaya, dan statika

13)  Kesebangunan segitiga

14)  Konsep keliling luas dan isi

15)  Fungsi trigonometri

16)  Rumus-rumus untuk luas, balisme dan keliling

17)  Memprogramkan komputer bilangan

4.      Komisi Pembaharuan Rencana Pelajaran di Negeri Belanda

Pada tahun 1961, sekertaris negara Belanda untuk pendidikan Seni dan Ilmu Pengetahuan membentuk Komisi Pembaharuan Rencana Pelajaran :

a)      Dengan suatu surat keputusan dibentuk suatu badan yang disebut VHMO, untuk menyusun rencana modernisasi pengajaran metematika sekolah.

Pada tahun 1963/68 maka tersusunlah rencana pelajaran tentang himpunan, logika, aljabar linier, analisa linier, toplologi, teori grup, statistik, peluang, matematik numerik dan matematika komputer.

b)     Modernisasi Pengajaran Geometri

Berdasarkan pada inti pemikiran bahwa bangun geometri tak dapat dibayangkan tanpa sifat nyata yang dapat dilihat, maka teks geometri dimulai dari kubus. Pengaruh didaktik dari Van Hiele nyata dalam pengajaran geometri ini.dari kubus dikenal titik, garis dan bidang. Kubus digambar dengan metoda proyeksi paralel. Kemudian sifat kubus diselidiki pada sifat-sifat simetrinya, baik simetri bidang, simetri garis dan sifat lainnya. Setelah selesai pengenalan itulah dikembangkan definisi, dalil-dalil yang diturunkan secara deduktif. Setelah mulai paham dengan metoda pembuktian baru diteruskan ke rotasi dan hasil-hasil produk pencerminan. Kemudian pengajaran tentang translasi. Dalam pergeseran itulah mulai diajarkan vektor. Dari hasil pergeseran diajarkan tentang kongruensi.

Dengan pengajaran transformasi ini kemudian diajarkan teori grup yang landasannya tentulah teori himpunan. Jadi bukan lagi segitiga yang menjadi pusat pengajaran geometri seperti pengajaran lama.

c)      Ilmu Ukur Vektor

Salah satu dari jenis geometri non Euclides yang muncul pada abad XIX adalah ruang vektor. Teks pertama ilmu ukur vektor di negeri Belanda ditulis oleh Westerman untuk SLTA. Perhitungan-perhitungan dalam ilmu ukur ini baik di bidang datar maupun ruang, menggunakan ilmu ukur analitik dan trigonometri. Persamaan garis, bidang lingkaran, bola dinyatakan dengan vektor.

d)     Didaktik Matematika

Dalam usaha pembaharuan pengajaran matematika sekolah itu tidaklah mungkin lepas dari didaktik matematika. Karena matematika itu sifatnya deduktif, proses pengembanganya banyak sekali melalui pembuktian. Prinsip sederhana secara didaktif pada proses pembuktian itu ialah mulai dari sifat-sifat elementer kemudian dilanjutkan kepada yang lebih kompleks sehingga terkontruksilah bangun matematika yang lebih lengkap.

Pemahaman bahasa dalam pembuktian sangat berperan. Kita pakai unsur linguistik dengan berbagai cara sehingga perumusan yang eksak menjadi mudah bagi murid, dan lebih menyakinkannya. Kita dapat mengubah struktur yang kompleks sehingga dapat dipahami siswa lebih jelas, namun strukturnya yang baru tetap dapat dipertanggugjawabkan.

e)      Logika dan Didaktik Matematika

Sebelumnya sudah dikatakan bahwa perkembangan matematika tersusun secara deduktif secara geometris saja tetapi dibantu oleh kontruksi linguistik. Dengan cara ini kita menyusun pembuktian untuk menyakinkan orang tentang kebenaran sesuatu pernyataan matematika. Pada mulanya, bukti itu tergantung kepada apa yang dilihat mata seperti garis, lingkaran dan sebagainya. Akan tetapi dalam perkembanganya kemudian muncul kecenderungan untuk membebaskan diri dari pengindraan atau pengalaman untuk proses pembuktian itu.

Menurut Cantor, hubungan penglihatan dengan deduksi itu tidak ada, atau bukti yang sah adalah hasil dari deduksi belaka. Namun, demikian tidak berarti kita secara didaktis harus mengelakkan semua sifat nyata yang dapat dilihat (visibility). Misalnya dalam pemakaian diagram Venn yang dapat dilihat dan nyata dapat diterima sebagai penjelasan secara logis yang berarti tak patut ditolak.

f)       Pengajaran statistika

Dalam penyusunan program matematika itu kemudian timbul dorongan dari masyarakat bahwa pengetahuan yang diberikan itu kelak dapat digunakan. Maka dalam rencana pengajaran matematika dimasukkan pelajaran matematika, dengan kisi-kisi.

Ø  Penggambaran grafis bahan angka statistik

Ø  Diagram batang, diagram lingkaran, dan histogram

Ø  Rata-rata hitung, median dan modus

Ø  Eksperimen peluang yang sederhana

Ø  Mistar hitung, tabel-tabel alat pembantu hitungan

5.      Rencana pengajaran matematika Jerman Barat

 Hasil dari studi perbandingan yang dilakukan Komisi Pembaharuan Rencana Pengajaran Matematika Negeri Belanda, yang bekerja dari tahun 1963/68, maka dari Jerman diperoleh Rencana Pelajaran Nurberger yang isinya sebagai berikut :

1)      Pengantar

·         Hakekat dan masalah pengajaran matematika

·         Isi pelajaran matematika

·         Tujuan

·         Himpunan

·         Struktur

·         Pemetaan dan fungsi

·         Pengajaran logika sebagai alat bantu

2)      Rencana dan bahan pelajaran rendah

·         Tujuan umum pengajaran

·         Aljabar dan aritmetika

·         Himpunan dan bilangan asli

·         Persamaan

·         Perhitungan perbandingan dan pemakaiannya

·         Geometri

·         Model geometri dan jaring-jaring dari kubus dan bidang empat

·         Tabung dan lingkaran

·         Segi empat dan simetrinya

3)      Rencana dan bahan pengajaran Menengah Pertama

·         Tujuan pengajaran umum

·         Aritmetetika dan aljabar

·         Pengerjaan dari pengertian himpunan

·         Persamaan linier dengan dua atau lebih peubah

·         Perluasan pengertian fungsi

·         Geometri

·         Pengembangan geometri datar Euclides berdasakan gambar.

·         mengenai kesebangunan (similarity)

·         perhitungan mengenai lingkaran

4)      Rencana dan bahan pengajaran untuk Menengah Atas

·         Tujuan umum pengajaran

·         Aljabar dan analisa

·         Barisan sebagai fungsi dari himpunan bilangan asli

·         Lanjutan hitungan diferensial

·         Persamaan-persamaan aljabar

·         Geometri dan aljabar linear

·         Kombinasi linear dan vector

·         Uraian sistematis transformasi affim di bidang

·         Melengkapi pelajaran geometri analitik mengenai paling sedikit suatu pokok bahasan, seperti persamaan umum derajat dua, irisan kerucut.

5)      Bahan pelajaran pilihan

·         Pendahuluan

·         Aljabar dan analisa

·         Integrasi dengan subtitusi, integral partiel

·         Deret pangkat dengan sifat suku sisa (redusi)

·         Pemakaian-pemakaian matematika pada fisika

·         Persamaan diferensial sederhana

·         Rumus-rumus parameter dari kurva

·         Pertanyaan tentang diferensial geometri

·         Rumus Euler dan fungsi-fungsi hiperbola

·         Dalil-dalil pokok pada aljabar

·         Teori peluang dan matematika social

·         Teori elementer ilmu bilangan

6)      Geometri

·         Persamaan umum derajat dua irisan kerucut dan klasifikasi

·         Persoalan-persoalan ilmu ukur ruang

·         Transformasi proyektif di bidang datar

·         Persamaan-persamaan lingkaran dan lukisan-lukisan pemakaiannya

·         Transformasi conform

·         Grup simetri, Transformasi kongruensi geometri

7)      Topologi secara intuitif

8)      Sifat aksiomatik

·         Medan bilang riel yang sederhana

·         Medan bilangan kompleks yang sederhana

·         Grup, ring dan medan

·         Pembentukan sistem aksiomatik geometri, misalnya sifar-sifat pencerminan dan sifat-sifat kesejajaran.

9)      Geometri non insidensi

10)  Geometri non Euclides

11)  Aljabar Boole dan pemakaiannya

12)  Perhitungan peluang

6.      Didaktik Khusus dalam Pengajaran Matematika Baru

Setelah isi dari matematika untuk sekolah itu dapat dirumusakan sebagai kisi-kisi kurikulum maka Didaktik Khusus Matematika tidak lagi hanya mempersoalkan bagaimana cara pemakaiannya. Sejarah menunjukkan bagaimana gerakan pembaharuan itu terjadi adalah atas dorongan akan tujuan pengajaran matematika itu diberikan disekolah.

1)      Dorongan-dorongan modernisasi pengajaran matematika di Eropah

Pada tahun 1959 Organisasi Kerjasama Ekonomi Eropah (OEEC) mengadakan konperensi para sarjana matematika yang berkerja di industry dengan sarjana matematika di Universitas. Konperensi diadakan di Rayamont perancis. . Konperensi mempelajari kemungkinan untuki mengajarkan matematika modern di sekolah lanjutan.

Dibentuklah kelompok kerja di bawah pimpinan Libois dari Brissel yang menghasilkan : Synopces for School Mathematics pada tahun 1961. Maka timbullah masalah guru yang dapat mengajarkan matematika. Matematika itu dan apa tujuan pengajaran matematika itu. Berarti perlu guru terlebih dahulu mengetahui isi dan tujuan pengajaran matematika modern itu disekolah.

Dimulai pada tahun 1960 kursus-kursus pembaharuan pengajaran Ilmu Pasti itu di Brissel melalui bantuan  OEEC pada abad  XX. Kursus-kursus seperti itu di Belgia diadakan di Brussel dan Gent.

Papy dari Belgia mengatakan bahwa matematika tidak boleh diajarkan sebai masalahan yang terisolasi. Bahkan matematika yang diajarkan kepada anak usia 12 tahun sampai 15 tahun member pengertian padanya untuk memecahkan masalahnya dikemudian hari. Matematika yang dipelajarinya mengajar sendiri untuk mengenal suatu situasi, sehingga dengan cara matematika ia dapat mengambil keputusan yang cocok untuk situasi itu.

2)      Kedudukan didaktik Matematika dalam Pedagogik di Nnegeri Belanda

Pada tahun 1961 suatu komosi yang dibentuk untuk modernisasi pengajaran matematika. Hasil kerja komosi ini tidak hanya mengenai progam matematika baru itu, tetapi juga menghasilkan tujuan pengajaran matematika. Persoalan tujuan bukan hanya menyangkut pemakaian matematika itu di kemudian hari atau bahan yang berguna dikemudian hari.

Tujuan lain ialah mendorong cara berfikir matematika, yaitu nilai pembentukan yang maenjadi motif pedagogik. Penguasaan cara berfikir yang diajarkan melalui pengajaran matematika baru itu juga akan lebih mudah memperoleh bahan matematika lain dengan tujuan mudah lagi.

Jadai tujuan pembentukan itu merupakan suatu transfer pengetahuan di luar isi matematika itu. Maka ada pengaruh dari matematika itu terhadap gaya berfikir dan gaya hidupnya.

3)      Matematika Baru Skotlandia

Suatu kelompok ahli matematika yang terdiri dari 17 orang dosen menyusun seperangkat buku ‘’ Modern Mathematics for School’’ yang telah dieksperimenkan kepada 7000 orang siswa. Terjemahan buku dipelajari oleh Komisi Kordinasi Ilmu Pasti Negeri Belanda untuk dicobakan di sekolah lanjutan (VHMO dan HAVO)

Oleh komisi kepada terjemahan buku itu diberi penjelasan analisa didaktiknya dan tujuan-tujuannya. Namun evaluasi hasil pemakaian buku itu tidak sempat diberikan. Terjemahan buku ’’ Modern Mathematics for School’’ inilah kemudian mengisi kurikulum matematika 1975 di Indonesia.

4)      Progam pengajaran Matematika di Afrika

African Mathematics Progam adalah suatu proyek pengajaran matematika mulai dari SD hingga SL yang dipimpin dan dibiayai oleh Amerika. Eksperimen pengajaran matematika baru itu dengan penyampaian pelajaran dengan metode penemuan, yakni usaha siswa sendiri menemukan pengetahuan atau kebenaran (heuristic).

Progam ini mulai pada tahun 1966 di Nairobi (Kenya). Kemudian progam ini dilaksanakan pada sepuluh Negara Afrika. Secara khusus progam matematika baru untuk SD yang disebut Progam Entebbe (Uganda).

Matematika Entebbe inilah yang disadur menjadi matematika untuk SD menurut kurikulum 1975 di Indonesia.

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Dari makalah di atas kami dapat menyimpulkan bahwa Sejak tahun 1750, mata pelajaran matematika aljabar, planimetri, trigonometri, stereometri dan ilmu ukur analitik sudah merupakan suatu pelajaran dalam kurikulum Sekolah Lanjutan. Selanjutnya Felix Klein menyusun geometrinya menggunakan logika sebagai inti pemikiranya. Demikian pula Hilbert dalam Grundlagen der geometrie menekankan aspek logika dalam geometri. Dia menyusun geometri dengan 20 aksioma. Relasi-relasi bangun diatur oleh aksioma-aksioma.

Adapun usaha-usaha pembaharuan pengajaran matematika diberbagai Negara :

1.      Matematika sekolah menengah

2.      Hasil kongres Matematika Southampton (Inggris)

3.      Proyect Madison di Amerika

4.      Komisi Pembaharuan  Rencana Pembelajaran di Negeri Belanda

5.      Rencana Pengajaran Matematika Jerman Barat

B.     Saran

Kami berharap semoga makalah ini dapat bermanfaat serta dapat menjadi bahan materi yang berkaitan dengan Pembaharuan matematika Sekolah. Kami mohon maaf  jika dalam penyusunan materi ini masih banyak kekurangan. Kami mengharapkan kritik dan saran dari segenap pembaca demi perbaikan makalah ini. Sekian dan terima kasih.

DAFTAR PUSTAKA

Drs.Sitorus,J.1990.Pengantar Sejarah Matematika Dan Pembaharuan Pengajaran  Matematika di Sekolah.Bandung : Tarsito